29 cze

Wielomiany cz. 2

Autor: Krzyk kategoria: Matematyka | Tagi :, , , , , |

Przeczytaj inne z serii wielomiany

Jak obiecałem, w części drugiej będzie trochę zadań. A także wyjaśnię dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów.

Na początku zadania, o których pisałem w części pierwszej.

Uporządkuj wielomiany:
G(x)=2x^2-x^3+5-3x
W(x)=4x^2+x^4-3x^3+5x^5-2x+8
y=2x^3+3x^2-4x-9

Dla jakich wartości parametrów a i b wielomiany W(x) i G(x) są równe:

  1. W(x)=ax^2-(a-b)
    G(x)=2x^2+4
  2. W(x)=2ax^2-(a+b)
    G(x)=bx^2+3

Na końcu znajdziecie zadanie które wymaga trochę wysiłku. ;) A teraz wróćmy do tematu dzisiejszego postu.
Dodawanie wielomianów jest bardzo prostą czynnością którą wykonaliśmy już w części pierwszej. :)
Wykonujemy podobnie jak normalne dodawanie liczb, z tym wyjątkiem, że zwracamy uwagę na potęgi.
Tzn. jeżeli mamy x^2 to możemy dodać do niego tylko inny x^2.
Przykład:G(x)+W(x)
W(x)=2x^2
G(x)=x^2+2x
Wynikiem dodania tych wielomianów jest nowy wielomian:
Z(x)=3x^2+2x
Czyli musimy pamiętać że dodajemy tylko liczby przy odpowiednich potęgach! A także, nic nam nie może zginąć! ;) Mam nadzieję że jeden przykład wystarczył teraz czas na odejmowanie wielomianów. Wykonujemy je tak samo jak dodawanie pamiętając jedynie o zmianie znaku ;)
Przykłady:

  1. W(x)-G(x)
    W(x)=4x^2+x-3
    G(x)=3x^2-5
    Wynik:
    Z(x)=4x^2-3x^2+x-3+5
    Z(x)=x^2+x+2
  2. -W(x)-G(x)
    W(x)=4x-5
    G(x)=-5x+5
    Wynik:
    Z(x)=-4x+5x+5-5
    Z(x)=x

Prawda, że proste? Bynajmniej mam nadzieję, że proste. ;)
To przejdźmy teraz do mnożenia wielomianów. Mnożenie polega na wymnożeniu każdego wyrazu pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu.
Przykład: W(x)*G(x)
W(x)=2x+2
G(x)=x^2-2x
Z(x)=2x*x^2+2x*(-2x)+2*x^2+2*(-2x)=
=2x^3-4x^2+2x^2-4x=2x^3-2x^2-4x
I tak wygląda mnożenie wielomianów. :) Mnożymy każdy przez każdy a potem dodajemy/odejmujemy :)
A na koniec zadanie dotyczące równości, odejmowania i mnożenia wielomianów:
Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian u(x)*v(x)-w(x) jest wielomianem zerowym?
u(x)=-x+4
v(x)=2x^2+ax+b
w(x)=-2x^3+6x^2+5x+12

Odpowiedzi: 2 do tego wpisu.

  1. Autor: AdvMDev dnia 29.06.10 o godz. 14:56

    Q(x) = (-x+4)(2x^2+ax+b) = -2x^3 + (8-a)x^2 + (4a-b)x + 4b
    Żeby wynik był zerowym u(x)*v(x) – w(x) = 0 -> współczynniki muszą być równe przy każdej potędze zeru:
    6 – (8-a) = 0
    5 – (4a-b) = 0
    12 – 4b = 0

    6 = 8-a -> a = 2
    12 = 4b -> b = 3

    Niczego nie spsułem? (:

  2. Autor: Krzyk dnia 29.06.10 o godz. 14:56

    Heh no wychodzi na to, że niczego nie spsułeś ;)

Skomentuj ten wpis